Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E，作E作EH⊥AB，

垂足为H，已知○O与AB边相切，切点为F
（1）求证：OE‖AB； （2求证：2EH=AB；（3）若BH/BE=1/4，求BH/CE的值

Answer 1

(1) 因为 EH垂直于AB, 所以角FHE为直角
连接E与F
因为AB与圆相切于点F, 而角HFE与角HEF所对的圆弧相同, 所以角HFE=角HEF, 即三角形FHE是等腰直角三角形, 角HFE=角HEF=45度
角OFE=90度-角EFH=45度
而三角形OFE中, 边OF=边OE=半径, 所以三角形OFE也是等腰直角三角形, 角OEH=45度
角OEH=角ODF+角FEH=45度+45度=90度, 所以OE垂直于HE
因为AB垂直于HE, 所以OE//AB

(2)三角形FHE与三角形OFE全等(都是等腰直角三角形，且有一边FE=FE)
所以EH=OE=半径OC=1/2直径=1/2CD=1/2AB (等腰梯形ABCD中 两腰AB=CD)

(3) 直角三角形BHE中, BH/BE=1/4=sin角HEB, 而角OEC=180-90-角HEB=90-角HEB
sin角OEC=cos角HEB=根号15/4
在三角形OEC中, 角COE=180度-2*角OEC, sin 角COE=sin(2* 角OEC)=根号15/8
用正弦定理, CE/ sin 角COE= OC/ sin 角OEC
CE=OC*根号15/8 /(根号15/4 ) = OC/2 =OE/2=HE/2
BH/BE=1/4, BH=1/4 *BE, CE=HE/2=根号15/4 *BE/2
BH/CE=2/根号15