如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的
如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想...
如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并证明你的结论.(2)在(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?
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(1)解:当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∵AD=2AB=2CD,AM=DM=
AD,
∴AB=AM=DM=CD,
∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°,
∵PE⊥MC,PF⊥BM,
∴∠MEP=∠FPE=90°,
∴四边形PEMF为矩形,
即当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形.
(2)解:当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
理由是:∵四边形PEMF为矩形,
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°,
在△BFP和△CEP中
,
∴△BFP≌△CEP(AAS),
∴PE=PF,
∵四边形PEMF是矩形,
∴矩形PEMF是正方形,
即当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∵AD=2AB=2CD,AM=DM=
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∴AB=AM=DM=CD,
∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°,
∵PE⊥MC,PF⊥BM,
∴∠MEP=∠FPE=90°,
∴四边形PEMF为矩形,
即当AD=2AB时,四边形PEMF为矩形.
(2)解:当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
理由是:∵四边形PEMF为矩形,
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°,
在△BFP和△CEP中
|
∴△BFP≌△CEP(AAS),
∴PE=PF,
∵四边形PEMF是矩形,
∴矩形PEMF是正方形,
即当P是BC的中点时,矩形PEMF为正方形.
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