Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1AC⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC=BC=AA1=A1C=2．（Ⅰ）求证：AC1⊥

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1AC⊥平面ABC，BC⊥AC，D为AC的中点，AC=BC=AA1=A1C=2．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵平面A₁AC⊥平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥面A₁AC，∴BC⊥AC₁，
∵AA₁C₁C是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC₁⊥平面A₁BC，∴AO⊥平面A₁BC，
∴AO⊥A₁B，又OE⊥A₁B于E，∴A₁B⊥AE，
∴∠AEO为平面AA₁B与平面A₁BC的夹角，
在Rt△A₁EO中，A₁O=1，∠OA₁E=45°，
∴直角边OE=

2

2

，
又∵Rt△A₁EO中，AO=

3

，AE=

14

2

，
∴cos∠AEO＝

OE

AE

＝

7

7

．
∴平面AA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值为

7

7

．