四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3．（
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线...
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
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解答：
解法一：
（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD＝BC＝2
，SA＝
，SD＝
＝
．
又AO＝ABsin45°＝
，作DE⊥BC，垂足为E，
则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．sin∠ESD＝
＝
＝
＝
所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin
．
解法二：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
因为AO＝BO＝
AB＝
，SO＝
＝1，
又BC＝2
，所以A(
，0，0)，B(0，
，0)，C(0，?
，0)．S（0，0，1），
＝(
，0，?1)，
＝(0，2
，0)，
解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD＝BC＝2
| 2 |
| 3 |
| AD2+SA2 |
| 11 |
又AO＝ABsin45°＝
| 2 |
则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．sin∠ESD＝
| ED |
| SD |
| AO |
| SD |
| ||
|
| ||
| 11 |
所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin
| ||
| 11 |
解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
因为AO＝BO＝
| ||
| 2 |
| 2 |
| SB2?BO2 |
又BC＝2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| SA |
| 2 |
| CB |
| 2 |
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