Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x?y1?

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x?y1?xy），又数列{an}满足：a1=12，an+1=2an1+a2n．（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；（II）求f（an）关于n的函数解析式；（III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=1g(n)，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2?3t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（I）证明：令x=y=0，可得f（0）=0
令x=0，则f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∵y∈（-1，1），∴f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）解：由f（x）-f（y）=f（

x?y

1?xy

），将y换为-y，可得f（x）-f（-y）=f（

x+y

1+xy

），
∵f（-y）=-f（y），∴f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f（a_n+1）=f（

2an

1+ a 2 n

）=f（

an+an

1+ a 2 n

）=f（a_n）+f（a_n）=2f（a_n）
∴

f(an+1)

f(an)

=2
∵f（a₁）=f（

1

2

）=-1
∴{f（a_n）}是首项为-1，公比为2的等比数列
∴f（a_n）=-2^n-1；
（III）解：∵b_n=

1

g(n)

，∴b_n=-2^1-n，
∴b₁+b₂+…+b_n=-（1+

1

2

+…+

1

2n?1

）=

1

2n?1

?2
∵b₁+b₂+…+bn＜t2?3t恒成立，
∴

1

2n?1

?2＜t2?3t恒成立，
即t2?3t+2＞

1

2n?1

恒成立，
∵(

1

2n?1

)max＝1
∴t²-3t+2＞1
∴t²-3t+1＞0
∴t＜

3? 5

2

或