Question

线性代数中“关于用正交变换化二次型为标准型”的计算题，如下图片所示：

请教各位老师，谢谢！在线等~~

Answer 1

【分析】
二次型矩阵A为实对称矩阵。它的不同特征值的特征向量必正交。

【解答】
二次型矩阵A为
a -1 1
-1 0 b
1 b 1
根据特征值，特征向量定义，Aα1=λ1α1，α1=（1，-1，0）T ，得
a+1=λ1
-1=-λ1
1-b=0
所以 a=0，b=1，λ1=1，矩阵A为
0 -1 1
-1 0 1
1 1 1
求解特征方程 |λE-A|=0，得λ1=1，λ2=√3，λ3=-√3
λ1=1时的特征向量为，α1=（1，-1，0）T
λ2=√3时的特征向量为，α2=（(√3-1)/2，(√3-1)/2，1）T
λ3=√3时的特征向量为，α3=（(-√3-1)/2，(-√3-1)/2，1）T
由于λ1，λ2，λ3不同，所以特征向量必正交，下面只需要单位化即可。
β1=（1/√2，-1/√2，0）T
β2=（(√3-1)/2(3-√2)，(√3-1)/2(3-√2)，1/(3-√2)）T
β3=（(-√3-1)/2(3+√2)，(-√3-1)/2(3+√2)，1/(3+√2)）T
令C=（β1，β2，β3）。C即为正交变换矩阵。

A的最大特征值为λ2=√3。存在正交变换x=Cy，可化f为标准型。

f=XTAX===λ1y1²+λ2y2²+λ3y3² ≤ λ2（y1²+y2²+y3²）
因正交变换不改变向量长度，故当XTX=x1²+x2²+x3²=2时，有y1²+y2²+y3²=2，于是
f=XTAX≤2λ2，① 对应的特征向量为α2。
由Aβ2=λ2β2，f=β2TAβ2=β2Tλ2β2=λ2β2Tβ2=2λ2 ②
综合①②，即知
maxXTAX=2λ2=2√3.

【评注】
二次型 f=XTAX在XTAX=k的条件下，最大（小）值为A的最大（小）特征值，且最大（小）值在对应于最大（小）特征值的单位特征向量处取到。

newmanhero 2015年3月9日13:52:41

希望对你有所帮助，望采纳。