Question

数列求和——Sn=√1*2+√2*3+√3*4+……+√n*（n+1）

如题。高手们帮帮忙啊
附带证明——(n^2+n)<2*Sn<(n+1)^2

Answer 1

Sn=√1*2+√2*3+√3*4+……+√n*（n+1） >根号(1*1)+根号(2*2)+根号(3*3)+....+根号(n*n)
=1+2+...+n=(n+1)n/2=(n^2+n)/2
即(n^2+n)<2*Sn
Sn=√1*2+√2*3+√3*4+……+√n*（n+1）<根号（2*2）+根号（3*3）+...+根号（（n+1）（n+1））=2+3+...+n+1==(n^2+3n)/2
即2*Sn<n^2+3n=(n+1)^2+n-1
因为n>=1 所以n-1>=0 即2*Sn<(n+1)^2
综上（n^2+n)<2*Sn<(n+1)^2

Answer 2

Sn是无法求和的。
因为2√[k*（k+1）]>2k，所以2*Sn>2(1+2+...+n)=n^2+n
因为2√[k*（k+1）]<k+(k+1)=2k+1，所以2*Sn<2(1+2+...+n)+n=(n^2+n)+n<(n+1)^2