Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=PB=1，BC=2。

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=PB=1，BC=2。 （1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：平面PAD⊥平面PDC；（3）求二面角A-PD-B的余弦值。

Answer 1

解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线y为轴， AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 ∴ ， ， ， ， ， 。 （1）∵ ∴ 即 又 平面PAB， 平面PAB ∴ ∥平面PAB。 （2） ∴ 即 又 ∴ 平面PAD ∵ 平面PDC ∴平面PAD⊥平面PDC。 （3）设平面PBD的一个法向量 则 ，即 解得平面APC的一个法向量 而平面APD的一个法向量是 设二面角 为θ 则 即二面角 的余弦值为 。