Question

（2014?福建模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点

（2014?福建模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．（Ⅰ）当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．

Answer 1

解答：满分（13分）．
解：（Ⅰ）设M（x，y），则P（x，2y）．
∵点P在圆x2 +y2＝4上，∴x2 +(2y)2＝4，
∴点M的轨迹E的方程为

x2

4

+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）（i） 当直线PN的斜率不存在时，
直线MN的方程为x=2或x=-2．与轨迹E相切；
（ii）当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y=kx+t，k≠0，
∵直线PN与圆O相切，∴

|t|

k2+1

＝2，即t²-4k²-4=0．…（7分）
又直线MN的斜率等于

k

2

，点N的坐标为（-

t

k

，0）．
∴直线MN的方程为y=

k

2

(x+

t

k

)，即y=

1

2

(kx+t)． …（9分）
由

y＝ 1 2 (kx+t) x2 4 +y2＝1

，得（1+k²）x²²-4=0．
∵△=（2kt）²-4（1+k²）（t²-4）
=4k²（t²-4k²-4）=0．
故直线MN与轨迹E相切．
综上（i）（ii）知，直线MN与轨迹E相切． …（13分）