Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CB，在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
∴

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝?1 b＝2 c＝3

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）存在，理由如下：
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为：x=1，假设存在P（1，m）满足题意：
讨论：
①当PC=BC时，
∵OB=3，OC=3，
∴BC=3

2

，
∴

12+(3?m)2

=3

2

，
解得：m=3±

17

，
∴P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

）；
②当PB=BC时，

(3?1)2+m2

=3

2

，
解得：m₃=

14

，m₄=-

14

，
∴P₃（1，

14

），P₄（1，-

14

），
③当PB=PC时，

12+(3?m)2

=

(3?1)2+m2

，
解得：m=1，
∴P₅（1，1），
综上，共存在5个点P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

），P₃（1，

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