Question

计算二重积分∫∫Dy2?xydxdy，其中D是由直线y=x，y=1，x=0所围成的平面区域

计算二重积分∫∫Dy2?xydxdy，其中D是由直线y=x，y=1，x=0所围成的平面区域．

Answer 1

积分区域如下图．

因为 y²-xy 是关于x的一次函数，从而，为计算简单起见，将积分转化为“先x后y”的累次积分．
所以，
I=

∫∫

D

y2?xy

dxdy=

∫

1 0

dy 

∫

y 0

y2?xy

dx
=?

2

3

∫

1 0

1

y

(y2?xy)

3

2

|_ydy＝

2

3

∫

1 0

y2dy＝

2

9

．

Answer 2