Question

三角形ABC中，角平分线AD,BE,CF相交于点H（内心），过H点作HG垂直AC,垂足为G，求证角AHE=角CHG

证明：
因为AD、BE、CF是角平分线
所以
∠BAD＝∠BAC/2
∠ABE＝∠ABC/2
∠ACF＝∠ACB/2
所以
∠AHE＝∠BAD＋∠ABE
＝∠BAC/2＋∠ABC/2
＝(∠BAC＋∠ABC)/2
＝(180°－∠BCA)/2
＝90°－∠BCA/2
＝90°－∠ACF
＝90°－∠GCH
因为HE⊥AC
所以∠CHG＝90°－∠GCH
所以∠AHE＝∠CHG

为什么∠AHE＝∠BAD＋∠ABE，疑惑.................

Answer 1

这是三角形的外角定理。
∵在△ABH中，内角和∠AHB+∠BAD+∠ABE=180°
又∵∠BHE是平角，∠AHB+∠AHE=180°
∴∠AHB+∠BAD+∠ABE=∠AHB+∠AHE=180°
即∠BAD+∠ABE=∠AHE （等式两边同时减去∠AHB）
得证。
这就是三角形的外角定理， ∠AHE是△ABH外角，他等于任意两个与他不相邻的内角的和。

Answer 2

外角定理：三角形的外角等于两个与它不相邻的内角之和

Answer 3

角ABH的外角！