Question

(1)用数学归纳法证明下列行列式 (2)利用递推公式，证明下列行列式

Answer 1

原行列式 Dn =
1+a1 1 ... 1+0
1 1+a2 ... 1+0
... ...
1 1 ... 1+an
= 按第n列把行列式分拆
1+a1 1 ... 1
1 1+a2 ... 1
... ... 所有行减第n行化成下三角
1 1 ... 1
+
1+a1 1 ... 0
1 1+a2 ... 0 按第n列展开
... ...
1 1 ... an

= a1a2...a(n-1) + anD(n-1)

即有 Dn = a1a2...a(n-1) + anD(n-1)
有此递归关系就可用归纳法证明了
也可以直接递归出来
满意请采纳^_^.

追问

嗯 厉害 能帮我把后面的证明写的更详细一些吗 谢谢了！！

追答

哈 你太懒了
Dn = a1a2...a(n-1) + anD(n-1)
= a1a2...a(n-1) + an[a1a2...a(n-2) + a(n-1)D(n-2)]
= a1a2...a(n-1) + a1a2...a(n-2)an + ana(n-1)D(n-2)
= ......
= a1a2...a(n-1) + a1a2...a(n-2)an + ... + a1a3...an + ana(n-1)....a2D1
= a1a2...a(n-1) + a1a2...a(n-2)an + ... + a1a3...an + ana(n-1)....a2(1+a1)
= a1a2...a(n-1) + a1a2...a(n-2)an + ... + a1a3...an + a2a2...an +a1a2...an
= a1a2...an/an + a1a2...an/a(n-1)+ ...+a1a2...an/a2 + a1a2...an/a1 + a1a2...an
= a1a2...an(1+1/a1+1/a2+...+1/an).

归纳法就很自然了, 你自己应该会写的