Question

如图所示，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC= ，且AD⊥BC，对角线BD= ，AC= ，求AC和BD所成的角的大

如图所示，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC= ，且AD⊥BC，对角线BD= ，AC= ，求AC和BD所成的角的大小．

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Answer 1

解：如图所示，分别取AD，CD，AB，DB的中点E，F，G，H， 连结EF，FH，HG，GE，GF， 则由三角形中位线定理知EF∥AC且EF= GE∥BD且GE= GH∥AD，GH= HF∥BC，HF= 从而可知GE与EF所成的锐角(或直角)即为AC和BD所成的角， GH和HF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角， ∵AD⊥BC， ∴∠GHF=90°， ∴GF 2 =GH 2 +HF 2 =1， 在△EFG中，EG 2 +EF 2 =1=GF 2 ， ∴∠GEF=90°，即AC与BD所成的角为90°。