Question

设f（x）=e x （ax 2 +x+1）．（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，证明

设f（x）=e x （ax 2 +x+1）．（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（2）若x=1是函数f（x）的极值点，证明：当θ∈[0， π 2 ]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（1）∵f（x）=e x （ax 2 +x+1）， ∴f′（x）=e x （ax 2 +x+1）+e x （2ax+1）=e x [ax 2 +（2a+1）x+2]， ①当a=0时，f′（x）=e x （x+2），令f′（x）＞0，可得x＞-2，令f′（x）＜0，可得x＜-2， ∴f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增； ②当a＜0时，f′（x）═ae x （x+ 1 a ）（x+2）， 令f′（x）＞0，可得-2＜x＜- 1 a ，令f′（x）＜0，可得x＜-2或x＞- 1 a ， ∴f（x）在（-∞，-2）和（- 1 a ，+∞）上单调递减，在（-2，- 1 a ）上单调递增． 综合①②，当a=0时，f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（-∞，-2）和（- 1 a ，+∞）上单调递减，在（-2，- 1 a ）上单调递增； （2））∵当x=1时，f（x）有极值， ∴f′（1）=0， ∴3ae（1+ 1 a ）=0，解得a=-1， ∴f（x）=e x （-x 2 +x+1），f′（x）=-e x （x-1）（x+2）， 令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1， ∴f（x）在[-2，1]上单调递增， ∴函数f（x）在[0，1]单调增， ∴f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1， 从而对任意x 1 ，x 2 ∈[0，1]，有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤e-1＜2． 而当θ∈[0， π 2 ]时，cosθ，sinθ∈[0，1]． 从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2， 故当θ∈[0， π 2 ]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．