Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．（Ⅰ） 求证：PA⊥底面ABCD；（Ⅱ） 求证：BF∥平面PAD；（Ⅲ） 若PA=AB=AD=1，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ） 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PA⊥AD，PA?平面PAD，
所以PA垂直底面ABCD．                                
（Ⅱ）因为AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，
所以四边形ABED为平行四边形，有BE∥AD．
又因为AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，
所以BE∥平面PAD．
（Ⅲ）因为F是PC的中点．PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥F-ABCD的高为

1

2

PA，
所以VF?ABCD＝

1

3

SABCD?

1

2

PA=

1

3

×

1

2

(1+2)?1×

1

2

＝

1

4

．