Question

如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）求证：AC2=AB?AD；（2）若将直

如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．（1）求证：AC2=AB?AD；（2）若将直线CD向上平移，交⊙O于C1、C2两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由；（3）把直线C1D继续向上平移，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．

Answer 1

（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（1分）
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC（2分）
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC（3分）
∴

AB

AC

＝

AC

AD

∴AC²=AB?AD；（4分）

（2）解：关系：AC₁?AC₂=AB?AD．（5分）
理由是：连接BC₁，
∵四边形ABC₁C₂是圆内接四边形
∴∠AC₂D=∠B（6分）
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
∴△ADC₂∽△AC₁B（7分）
∴

AB

AC2

＝

AC1

AD

∴AC₁?AC₂=AB?AD；（8分）

（3）解：如右图，（9分）
结论是：AC₁?AC₂=AB?AD，
证明：连接BC₁，
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
又∵∠C₂=∠B（10分）
∴△ADC₂∽△AC₁B（11分）
∴

AB

AC2

＝

AC1

AD

∴AC₁?AC₂=AB?AD．（12分）