Question

（2013?徐州一模）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B

（2013?徐州一模）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若TA?TB＝1，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．

Answer 1

（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，-2），此时，

TA

?

TB

＝0，
这与

TA

?

TB

＝1矛盾．
故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线C：y²=4x的方程化简可得 k² x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，且x₁?x₂=1…①．
∴(y1y2)2=16x₁?x₂=16，∴y₁y₂=-4…②．
由

TA

?

TB

＝1可得 （x₁+1）（x₂+1）+y₁?y₂=1．
把①②代入可得 k²=4，∴k=±2．
（2）∵y₁＞0，tan∠ATF=

y1?0

x1+1

=

y1

y12 4 +1

=

1

y1 4 + 1 y1

≤1，当且仅当

y1

4

=

1

y1

，即 y₁=2时，取等号，
故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为

π

4

．