Question

在数列{an}中，a1=2,a(n+1)=4an-3n+1. （1）证明{an-n}是等比数列 (2)求数列{an}的前n项和Sn

(a(n+1)-(n+1))=4(an-n) 怎么来的

Answer 1

（1）a(n+1)=4an-3n+1.
a(n+1)-(n+1)=(4an-3n+1)-(n+1)=4an-4n=4(an-n) ，且a1-1=1
所以{an-n}是以1为首项，公比为4的等比数列
（2）由（1）知，{an-n}是等比数列
设{an-n}的前n项和为Tn,则Tn=1*(1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)/3
得到Sn=a1+a2+……+an=Tn+(1+2+……+n)=(4^n-1)/3+n*(n+1)/2

追问

为什么要减去一个n+1

追答

我们要证明{an-n}是等比数列 ，题中又给了条件a(n+1)=4an-3n+1
我们自然要判断新数列中，当n=n+1时， 第（n+1）项a(n+1)-(n+1)与第n项an-n之间的关系