Question

正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y。（1）求y与x之间的函数关

正方形ABCD的边长为4，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）画出这个函数的图象；（4）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的 ，若存在，求出BP的长，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）画出图形，设QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ， ， ① y= ×4×（4-z），② 把①代入②y= x 2 -2x+8（0＜x＜4）；
（2）y= x 2 -2x+8= （x-2） 2 +6， ∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，6）；
（3）如图所示：
（4）存在，由S △APB = S △ADQ ，可得y=3x， ∴ x 2 -2x+8=3x， ∴x=2，x=8（舍去）， ∴当P为BC的中点时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的 。