Question

初三数学题

已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB, 点D是△ABC内一点，且AD=CD, BD=BA. 探究∠DBC与∠ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当∠BAC=90°时，根据问题中的条件补全下图。
观察图形，AB与AC的数量关系为________；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的读数为________；所以，可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为________.（填空）
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
图

Answer 1

解：（1）①当∠BAC=90°时，

∵∠BAC=2∠ACB，

∴∠ACB=45°，

在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC（等角对等边）；

②当∠DAC=15°时，

∠DAB=90°-15°=75°，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=75°，

∴∠DBA=150°-75°-75°=30°，

∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，

∴∠DBC的度数为15°；

③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，

∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，

∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3． 

（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同． 

证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．

∵∠BAC¹=90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，

∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．

∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，

∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，

∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，

∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，∴∠2=2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3