Question

如图,正方形ABCD的对角线BD上取BE=BC,连接CE,P为CE上任一点,PQ⊥BC,PR⊥BE,求证PQ+PR=二分之一BD

Answer 1

如图，作PF∥DB  ∵⊿CBE等腰。∴⊿CFP也等腰。∴CG＝PQ﹙腰上的高﹚

OGPR是矩形，PR＝GO.∴PQ+PR＝CG+GO＝CO＝BD/2,

Answer 2

用面积法，BE/2*PQ+BC/2*PR=1/2BE*CO,得PQ+PR=BO=BD/2

Answer 3

证明：从P作PH⊥CO，垂足为H
∵ABCD是正方形
∴DO⊥CO，即∠ROH=90°
又PH⊥CO，PR⊥OR，即∠PHO=∠ROH=∠ORP=90°
∴ORPH是矩形
∴PR=OH
∵DO⊥CO，PH⊥CO
∴DO∥PH
∴∠HPC=∠BEC
又BE=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴∠HPC=∠BCE=∠QCP
再加上∠PHC=∠CQP=90°，CP=PC
∴△PHC≌△CQP
∴PQ=CH
于是PQ+PR=OH+CH=OC=½BD