Question

如图（1），点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；

如图（1），点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图（2），若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？（不需证明）（3）如图（3），若将题中的条件“点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请写出∠BQM的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分） 在△ABM和△BCN中， AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN ∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分） ∴∠BAM=∠CBN，…（4分） ∵∠BQM=∠BAM+∠ABN， ∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分） （2）∠BQM=60°还成立．…（7分）理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°， 在△ABM和△BCN中， AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BMA=∠CNB， ∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°； （3）∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°， 在△ABM和△BCN中， AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠BQM=∠BAM+∠ABN， ∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．