Question

在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的角平分线． （1）如图1，过 C 作 CE ∥ AD 交 BA 延长线于点 E ，若 F 为

在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的角平分线． （1）如图1，过 C 作 CE ∥ AD 交 BA 延长线于点 E ，若 F 为 CE 的中点，连结 AF ，求证： AF ⊥ AD ；（2）如图2， M 为 BC 的中点，过 M 作 MN ∥ AD 交 AC 于点 N ，若 AB =4， AC =7，求 NC 的长．

Answer 1

（1） ∵AD为△ABC的角平分线，∴ ，∵CE∥AD，∴ ， ，∴ ，∴AC=AE，∵F为EC的中点，∴AF⊥BC，∴ ，∴AF⊥AD。 （2） CN ＝5.5

试题分析：（1）由 与CE∥AD，可以通过两直线平行性质推出内错角和同位角相等，等量代换得出 ，又等腰三角形底边的中线与底边上的高是同一条线，所以得出AF⊥BC，由此AF⊥AD。 （2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，∴ ， ，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中， ， ， ，∴△BFM≌△CNM，∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴ ， ，∴ ，∴ ， ，设 ，则 ， ， ，∴4＋7－x＝x，解得 x＝5.5，∴CN＝5.5 点评：本题考查的是学生对两平行线与过这两条线的直线相交的性质；等腰三角形的三线合一很重要，通过求出其中任意一个数据，即可知道其他两个的数据；第二问关键在于做辅助线，辅助线在几何题中也是十分常用的一种方法。