Question

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I， .（1）如图1，若 ，则 = ， = ； （2）如图2，若∠EPD=60º，试求 和 的值； （3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且 ，其他条件不变，则 = .(只写答案不写过程)

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Answer 1

（1） =         ， =    1    ； (2)如图设PC= a，则PA=an；连BP，且过P作PM⊥AB于M；过P点作PN∥BC交AB于N 可判断ANP为等边三角形 所以AP=PN=AN ∴△PNI≌△DBI(AAS) ∴IB= 又∵∠PED=90 0 ∴∠D=∠BID= 30 0 ∴BI=BD =an ∴n=             在三角形AMP中可得AM= ∴BM="BE=" 又DB=PA ∴DE= 又∵∠EPC=∠APF=30 0   而∠CAF=120 0 ∠F=30 0 AF=AP= an ∴FI=2an+   ∴ = = =   (3) =

（1）①由题意，在直角△BEF中，∠F=30°，则BE= BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD= AB，BD= BF，即可得出； ②如图一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH= FI，易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，在△PDE中，IH是中位线，可得IH= DE，即可得出； （2）连BP，且过P作PM⊥AB于M，过P点作PN∥BC交AB于N，可得ANP为等边三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，可得BI=BD，即 a=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM= an，BM=BE=a+an- an=a+ an，BE=a+an- a= a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，则AF=AP=an，FI=2an+ a，即可求出； （3）根据（1）的推理原理，即可推出结果．