Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cosC cosB = 3a-c b ．求：（1）sinB

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cosC cosB = 3a-c b ．求：（1）sinB；（2）若b=4 2 ，且a=c，求边c长．

Answer 1

（1）∵△ABC中， cosC cosB = 3a-c b ， ∴由正弦定理，得 cosC cosB = 3sinA-sinC sinB ， 即sinBcosC=3sinAcosC-cosBsinC， ∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosC，即sin（B+C）=3sinAcosC， ∵△ABC中，B+C=π-A，得sin（B+C）=sinA ∴等式化简为sinA（1-3cosC）=0，结合sinA＞0，得cosC= 1 3 因此，sinB= 1-co s 2 B = 2 2 3 （2）根据余弦定理b 2 =a 2 +c 2 -2accosB，得 32=a 2 +c 2 -2ac× 1 3 = 4 3 c 2 ，解之得c=2 6 即边c长为 2 6 ．