过抛物线x 2 =2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点.(I)证明:△ABO是钝角三角形
过抛物线x2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点.(I)证明:△ABO是钝角三角形;(II)求△ABO面积的最小值;(III)过点A作抛物线...
过抛物线x 2 =2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点.(I)证明:△ABO是钝角三角形;(II)求△ABO面积的最小值;(III)过点A作抛物线的切线交y轴于点C,求线段AC中点M的轨迹方程.
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(I)设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),AB方程 y=kx+ 由 ,得x 2 -2pkx-p 2 =0 ∴ x 1 x 2 =- p 2 , y 1 y 2 = ∴ ? = x 1 x 2 + y 1 y 2 =- p 2 + =- p 2 <0 ∴ cos∠AOB= <0 ∴∠AOB为钝角,△ABO为钝角三角形 (II)由(I)x 1 x 2 =-p2,x 1 +x 2 =2pk ∴ S △ABO = |OF|| x 1 - x 2 | = | ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 | = = ≥ 当k=0时取等号 ∴△ABO面积的最小值是 (III)设过点A的切线方程为y=k(x-x 1 )+y 1 由 | y=k(x- x 1 )+ y 1 | x 2 =2py | | | 得 x 2 -2pkx+2pkx 1 -2py 1 =0令△=4p 2 k 2 -4(2pkx 1 -2py 1 )=0解得 k= x 1 ∴切线方程为 y= x 1 (x- x 1 )+ y 1 令x=0,得 y=- + y 1 =-2 y 1 + y 1 =- y 1 ∴线段AC中点M为(x,0) ∴点M的轨迹方程为y=0(x≠0) |
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