Question

过抛物线x 2 =2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．（I）证明：△ABO是钝角三角形

过抛物线x 2 =2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．（I）证明：△ABO是钝角三角形；（II）求△ABO面积的最小值；（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．

Answer 1

（I）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB方程 y=kx+ p 2 由 y=kx+ p 2 x 2 =2py ，得x 2 -2pkx-p 2 =0 ∴ x 1 x 2 =- p 2 ， y 1 y 2 = p 2 4 ∴ OA ? OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 =- p 2 + p 2 4 =- 3 4 p 2 ＜0 ∴ cos∠AOB= OA ? OB | OA || OB ＜0 ∴∠AOB为钝角，△ABO为钝角三角形 （II）由（I）x 1 x 2 =-p2，x 1 +x 2 =2pk ∴ S △ABO = 1 2 |OF|| x 1 - x 2 | = p 4 ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = p 4 4 p 2 k 2 +4 p 2 = p 2 2 (1+ k 2 ) ≥ p 2 2 当k=0时取等号 ∴△ABO面积的最小值是 p 2 2 （III）设过点A的切线方程为y=k（x-x 1 ）+y 1 由 y=k(x- x 1 )+ y 1 x 2 =2py 得 x 2 -2pkx+2pkx 1 -2py 1 =0令△=4p 2 k 2 -4（2pkx 1 -2py 1 ）=0解得 k= 1 p x 1 ∴切线方程为 y= 1 p x 1 (x- x 1 )+ y 1 令x=0，得 y=- x 1 2 p + y 1 =-2 y 1 + y 1 =- y 1 ∴线段AC中点M为（x，0） ∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）