(2014?福州)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=32,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O
(2014?福州)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=32,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(...
(2014?福州)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=32,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求⊙O的半径.
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解:(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
在Rt△ABE中,∵sinB=
,
∴AE=ABsinB=3
sin45°=3
×
=3,
∵∠B=45°,
∴∠BAE=45°,
∴BE=AE=3,
在Rt△ACE中,
∵tan∠ACB=
,
∴EC=
=
=
=
,
∴BC=BE+EC=3+
;
(2)连接AO并延长到⊙O上一点M,连接CM,
由(1)得,在Rt△ACE中,∵∠EAC=30°,EC=
∴∠AEB=∠AEC=90°,
在Rt△ABE中,∵sinB=
AE |
AB |
∴AE=ABsinB=3
2 |
2 |
| ||
2 |
∵∠B=45°,
∴∠BAE=45°,
∴BE=AE=3,
在Rt△ACE中,
∵tan∠ACB=
AE |
EC |
∴EC=
AE |
tan∠ACB |
3 |
tan60° |
3 | ||
|
3 |
∴BC=BE+EC=3+
3 |
(2)连接AO并延长到⊙O上一点M,连接CM,
由(1)得,在Rt△ACE中,∵∠EAC=30°,EC=
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作AE⊥BC于E,
在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=32, ∴AE=BE=16√2, CE=AE/√3=16√6/3, ∴BC=16√2+16√6/3. AC=2CE=32√6/3, 由正弦定理,圆O的半径=AC/(2sin∠D)=32√2/3. 如未学正弦定理,可作直径CF,连DF,
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