Question

（2014?北京模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，3）为短轴的一个

（2014?北京模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，3）为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k?k′为定值．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：如图，∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
点B（0，

3

）为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°，
∴b=

3

，a=

b

sin∠OF2B

=

3

sin60°

=2，…（2分）
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…（4分）
（Ⅱ）证明：设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1）．…（5分）
由

y＝k(x?1) x2 4 + y2 3 ＝1

，
得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…（6分）
因为点F₂（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，
即△＞0恒成立