Question

如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．（1）求证：DE-BF=EF；（2

如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．（1）求证：DE-BF=EF；（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由；（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， ∴△ABF≌△DAE， ∴BF=AE，AF=DE， ∴DE-BF=AF-AE=EF． （2）EF=2FG， 理由如下： ∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG， ∵∠BAG=∠GBF， ∴△ABG ∽ △BFG， 同理可得，△AFB ∽ △BFG ∽ △ABG， ∴ AB BG = AF BF = BF FG =2， ∴AF=2BF，BF=2FG， 由（1）知，AE=BF， ∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG． （3）如图，DE+BF=EF．