Question

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．求证：（1）EF=BE+DF；（2） S

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．求证：（1）EF=BE+DF；（2） S ABCD S △EAF = 2AB EF ．

Answer 1

证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图） ∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠3=∠2，AG=AF， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF， ∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GB+BE=EF， ∴DF+BE=EF； （2）∵△AEF≌△AGE， ∴S △AEF =S △AGE ， ∴ S △AEF = 1 2 GE×AB= 1 2 EF×AB ， 又S ABCD =AB 2 ， ∴ S ABCD S △AEF = A B 2 1 2 EF×AB = 2AB EF ．