Question

如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长

如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．

Answer 1

如图，延长DC，AB交于点E，
∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，
∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，
∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，
∴EC=2BC=2×3=6，
∴EB=

3

BC=3

3

，
∴ED=DC+EC=5+6=11，
∵EC×ED=EB×（EB+AB）
则6×11=3

3

×（3

3

+AB），
解得AB=

13 3

3

，
∴AC=

32+( 13 3 3 )2

=

14 3

3

，
∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，
∴△EDB∽△EAC，∴

BD

AC

＝

BE

CE

，
∴BD=

AC?BE

CE

=

14 3 3 ×3 3

6

=7．