Question

设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1．试证：必存在ξ∈

设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）+f（1）+f（2）=3，f（3）=1．试证：必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）=0．

Answer 1

因为f（x）在[0，3]上连续，
所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，
于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，
故：m≤

f(0)+f(1)+f(2)

3

≤M，
由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得：
f(c)＝

f(0)+f(1)+f(2)

3

＝1，
又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，
故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

引用蘇荷‖rumb°的回答：
因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2)3≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得：f(c)＝f(0)+f(1)+f(2)3＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．

为什么要考虑到[0,2]呢？如果直接是[0,3]上f(0) f(1) f(2)都可以取到[m,M]之间的值啊，那c就属于[0,3]了，再用罗尔定理，取[c,3]应该可以的吧？不明白为什么用到[0,2]，求解答。