Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer 1

解答：（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．
（2）解：①如图1，当0＜x≤

5

4

时，
ED=5-4x，QH=AQtanA=

3

4

x，
此时y=

1

2

（5-4x）×

3

4

x=-

3

2

x2+

15

8

x，
②如图2，当

5

4

＜x≤

5

2

时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=

3

4

x，
此时y=

1

2

（4x-5）×

3

4

x=

3

2

x²-

15

8

x，

（3）解：①如图1，当0＜x＜

5

4

时，
若DE=DH，∵DH=AH=

QA

cosA

=

5

4

x，DE=10-4x，
∴5-4x=

5

4

x，x=

15

16

．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当

5

4

＜x≤

5

2

时，
若DE=DH，4x-5=

5

4

x，x=

20

21

；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=

5

2

；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴

ED

DH

=

DH

AD

，x=

160

103

，
∴当x的值为

15

16

，

25

16

，

5

2

，

160

103

时，△HDE是等腰三角形．