Question

设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f(x)x=0，证明级数∞n＝1f（1n）绝对收敛

设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f(x)x=0，证明级数∞n＝1f（1n）绝对收敛．

Answer 1

∵f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一邻域均连续
且：

lim

x→0

f(x)

x

＝0
∴f（x）=f（0）=0

lim

x→0

f(x)?f(0)

x

＝0
∴f’（0）=0
∴

lim

x→0

f(x)

x2

＝

lim

x→0

f’(x)

2x

＝

lim

x→0

f’(x)?f’(0)

2x

＝

1

2

f’’(0)
∴

lim

n→∞

|

f( 1 n )

( 1 n )2

|是一常数
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛