已知:如图△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别在线段AB,AC上,且∠EDF=90°(1)求证
已知:如图△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别在线段AB,AC上,且∠EDF=90°(1)求证:△DEF为等腰直角三角形;(2)求证:S四...
已知:如图△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别在线段AB,AC上,且∠EDF=90°(1)求证:△DEF为等腰直角三角形;(2)求证:S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF;(3)如果点E运动到AB的延长线上,F在射线CA上且保持∠EDF=90°,△DEF还仍然是等腰直角三角形吗?请画图说明理由.
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解答:(1)证明:如图,连接AD,∵∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∴∠1=∠B=45°,
∵∠EDF=90°,
∴∠2+∠3=90°,
又∵∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,
,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形;
(2)解:同理可证,△ADE≌△CDF,
所以,S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF,
即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF;
(3)解:仍然成立.如图,连接AD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°,
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DAF=∠DBE,
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,
,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∴∠1=∠B=45°,
∵∠EDF=90°,
∴∠2+∠3=90°,
又∵∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,
|
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形;
(2)解:同理可证,△ADE≌△CDF,
所以,S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF,
即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF;
(3)解:仍然成立.如图,连接AD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,∠1=45°,
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°,
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DAF=∠DBE,
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,
|
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
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