Question

设圆满足截Y轴所得弦长为2，被X轴分成两段圆弧其弧长的比为3:1。求圆心到直线X-2Y=0的距离最小的圆的方程

如题，希望得到能看懂的正确答案，能看懂，能看懂。

Answer 1

设圆心P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为√2r，故r2=2b2， 又圆P截y轴所得的弦长为2 r2=a2+1． 2b2-a2=1． 又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|／√5， 5d2=|a-2b|2 =a2+4b2-4ab ≥a2+4b2-2（a2+b2） =2b2-a2=1， 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值． a=b，2b2-a2=1 a=1，b=1或a=-1，b=-1. r2=2b2 r=√2． ∴（x-1）2+（y-1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．