Question

设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在满足

设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在满足（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线L：x-2的距离最小的圆的方程

Answer 1

设圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²

利用垂径定理与等腰直角三角形（圆心角为90°或270°）

可知圆心坐标为（±√r²-1,±√2/2*r)

由于直线为y=x-2

ⅰ当圆心在x轴上方时，圆心坐标为（±√r²-1,√2/2*r)

d=|±√(r²-1)-√2/2*r-2|／√2

利用求根公式求最值，z=(±√(r²-1)-√2/2*r-2)

(z+√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²

½r²-√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0

Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0

4z²+16z+18≥0

 

ⅱ当圆心在x轴下方时，圆心坐标为（±√r²-1,-√2/2*r)

d=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)／√2

利用求根公式求最值，z=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)

(z-√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²

½r²+√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0

Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0

4z²+16z+18≥0

综合ⅰⅱ由于对于任意z值均有4z²+16z+18≥0

对于当z=0时有最小（r＞0)

±√(r²-1)±√2/2*r-2=0

解得r=√2或r=5√2

故a=1,b=1或a=7,b=5(此时可知圆心均在x轴上方）

此时圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=2

或（x-7)²+(y-5)²=50