Question

已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距

已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为55．求该圆的方程．

Answer 1

设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，
因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r²=a²+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故r=

2

b，即r²=2b²，
∴2b²-a²=1①，
又∵P（a，b）到直线x-2y=0的距离为

5

5

，
即

|a?2b|

5

=

5

5

，
即a-2b=±1．②
解①②组成的方程组得：

a＝1 b＝1

或

a＝?1 b＝?1

，于是即r²=2b²=2，
∴所求的圆的方程为（x+1）²+（y+1）²=2或（x-1）²+（y-1）²=2．