Question

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为55．求该圆的方程．

Answer 1

设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为

2

r．故r²=2b²
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r²=a²+1．从而得2b²-a²=1；
又因为P（a，b）到直线x-2y=0的距离为

5

5

，所以d＝

|a?2b|

5

=

5

5

，即有a-2b=±1，
由此有

2b2?a2＝1 a?2b＝1

或

2b2?a2＝1 a?2b＝?1

解方程组得

a＝?1 b＝?1

或

a＝1 b＝1

，于是r²=2b²=2，
所求圆的方程是：（x+1）²+（y+1）²=2，或（x-1）²+（y-1）²=2．