Question

设圆满足 ( 1)截y轴所得弦长为2; (2) 被x轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足条

设圆满足 ( 1)截y轴所得弦长为2; (2) 被x轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足条件(1) (2)的所有圆中,求圆心到直线L:
x-2y=0的距离最小的圆的方程

Answer 1

请参考下
设圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²
可知圆心坐标为（±√r²-1,±√2/2*r)
由于直线为y=x-2
ⅰ当圆心在x轴上方时，圆心坐标为（±√r²-1,√2/2*r)
d=|±√(r²-1)-√2/2*r-2|／√2
利用求根公式求最值，z=(±√(r²-1)-√2/2*r-2)
(z+√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²
½r²-√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0
Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0
4z²+16z+18≥0

ⅱ当圆心在x轴下方时，圆心坐标为（±√r²-1,-√2/2*r)
d=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)／√2
利用求根公式求最值，z=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)
(z-√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²
½r²+√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0
Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0
4z²+16z+18≥0
综合ⅰⅱ由于对于任意z值均有4z²+16z+18≥0
对于当z=0时有最小（r＞0)
±√(r²-1)±√2/2*r-2=0
解得r=√2或r=5√2
故a=1,b=1或a=7,b=5(此时可知圆心均在x轴上方）
此时圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=2
或（x-7)²+(y-5)²=50

追答

Answer 2

解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，
∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的的弦长为2，
所以有r2=a2+1，从而得2b2-a2=1，
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，
所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，
当且仅当a=b时，上式等号成立，
从而要使d取得最小值，则应有，
解此方程组得，
又由r2=2b2知r=，
于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。