Question

设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）已知0≤x1＜x2，求证：ex2-x1＞lne(x2+1)x

设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）已知0≤x1＜x2，求证：ex2-x1＞lne(x2+1)x1+1．

Answer 1

解答：（1）解：函数f（x）=e^x-ln（x+1）的导数
f′（x）=e^x-

1

x+1

=

xex+ex?1

x+1

（x＞-1），
令h（x）=xe^x+e^x-1，h′（x）=（x+2）e^x＞0，
则h（x）在（-1，+∞）递增，由于h（0）=0，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
则f（x）_min=f（0）=e⁰-ln1=1；
（2）证明：由（1）得当x＞0时，e^x＞ln（x+1）+1，
由于0≤x₁＜x₂，
则e^x₂-x₁＞ln（x₂-x₁+1）+1，
则令m（x）=ln（x₂-x₁+1）+1-ln

e(x2+1)

x1+1

=ln

(x2?x1+1)(x1+1)

x2+1

=ln[1+

x1(x2?x1)

x2+1

]＞ln1=0，
即有ln（x₂-x₁+1）+1＞ln

e(x2+1)

x1+1

，
则e^x₂-x₁＞ln

e(x2+1)

x1+1

．