Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF

已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．

Answer 1

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法一：
连接OA、OB，如图示，
∵OA=OB，
∴∠OAE=∠OBF，
又AE=BF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE=OF；

法二：
作OM⊥AB于M，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，∠EMO=∠FMO=90°，
∵AE=BF，

∴EM=FM，

又OM=OM，
∴△OEM≌△OFM，
∴OE=OF；

法三：

延长CO、DO与圆交于G、H，
由相交弦定理知，
AE•BE=CE•EG，
BF•AF=DF•HF，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
∴CE=DF，
∴OE=OF．

Answer 2

解答：证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．

Answer 3

连OA，OB
OE=OF,△OEF为等腰三角形，∠OEF=∠OFE,∠OEA=∠OFB（等角的补角相等）
△OAE与△OFB中，OA=OB,OE=OF,∠OEA=∠OFB
△OAE≌△OFB,AE=BF