Question

在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b-2c）cosA=a-2acos2B2．（1）求角A的值；（2）若BC边上的

在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b-2c）cosA=a-2acos2B2．（1）求角A的值；（2）若BC边上的中线长为3，求b+c的最大值．

Answer 1

解答：解：（1）已知等式变形得：（b-2c）cosA=a-2acos²

B

2

=-a（2cos²

B

2

-1）=-acosB，
利用正弦定理化简得：（sinB-2sinC）cosA=-sinAcosB，
去括号整理得：sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
则A=

π

3

；
（2）延长AD到E，使ED=AD=

3

，连接EB，EC，可得出△CDE≌△BDA，
在三角形ACE中，∠ACE=

2π

3

，AE=2AD=2

3

，EC=AB=c，CA=b，
由余弦定理得：AE²=AC²+AB²-2AC?ABcosA=AC²+AB²-AC?AB=b²+c²-bc=2bc-bc≥bc，即bc≤AE²=12，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=AE²+3bc≤12+36=48，
∴2

3

＜b+c≤4

3

，
则b+c的最大值为4

3

．