Question

椭圆x²/2+y²=1过左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点，且OA⊥OB，求直线方程

Answer 1

解由题知椭圆x²/2+y²=1的左焦点F1(-1,0).
当直线L垂直x轴时，设A(-1,√2/2),B(-1,-√2/2),
故OA*OB=(-1)×(-1)+√2/2×(-√2/2)=1-1/2=1/2
这与OA⊥OB相矛盾，
当直线L不垂直于x轴时，
设直线L的方程为y-0=k(x+1)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
即OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)
由y-0=k(x+1)与x²/2+y²=1
消y得(2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
故x1x2=(2k^2-2)/(2k^2+1)
消x得(2k^2+1)y^2-2ky-k^2=0
即y1y2=-k^2/(2k^2+1)
又由OA⊥OB
知x1x2+y1y2=0
即(2k^2-2)/(2k^2+1)-k^2/(2k^2+1)=0
即k^2=2
即k=±√2
故直线L的方程为y-0=±√2(x+1)