Question

关于微分的形式不变性？ 一阶微分形式不变我可以理解，但是高阶微分为什么没有这种性质？ 中间变量不是

关于微分的形式不变性？
一阶微分形式不变我可以理解，但是高阶微分为什么没有这种性质？
中间变量不是也可以看做自变量么，可是这里的中间变量却与自变量的待遇差别这么大，为什么呀？
我希望得到一个通俗的解释，而非纯粹的证明。

Answer 1

你看上图，一阶导数形式简单，但二阶导数是对一阶导数求导，在这个过程中，很明显复杂了很多

虽然同是中间变量，但是二阶微分比一阶微分复杂多了，所以形式改变了。

通俗点可以这样想：

dy                 du            dx

d^2y         du,du'           dx^2

d^3y         du,du',du''    dx^3

一阶微分的桥梁就只有du，但是高阶微分时的中间桥梁不止du，如何保证只与du有关呢？

追问

略懂，但还有个疑问，d2z先对应dy,在p0点，dy的改变量m,对应d2z改变量n,这时，如果附加条件y是x的函数，那么同样的dy改变m对应的d2z也要改变么？就像我的身高由我爸决定，我爸的身高有我爷决定，本来不看我爷，我身高和我爸身高是个函数，可是突然想到了我爷，我和我爸的身高关系突然就不成立了，可是如果我爸的基因确定，那有没有我爷不是一样的么？

追答

不太明白你的意思，对于你的比喻，我的回答是：
我的身高由我爸决定，我爸的身高有我爷决定，
不看我爷，我身高和我爸身高是个函数，
突然想到了我爷，【我身高和我爸身高仍然是个函数，但是我的身高间接由我爷爷决定】

追问

本来y决定z,但是，突然x决定y,那么y和z的关系就改变了，
z是由y直接决定的，可以说x是间接通过y决定了z,但是这样为什么改变了y和z的关系呀

从逻辑上貌似没道理呀

追答

我明白你的意思了，这是因为x突然决定y的缘故，
原来没有人决定y，但是实际上，y就是x的函数，y=x，这以为着y是连续均匀变化的；
一旦所谓的x突然决定y出现，实际上是y不是x的线性函数时，如x的平方，就是说y是沿x平方变化的，对于z而言，当然就不一样了。

实际上，没有【x突然决定y】的说法，只不过是y是线性和非线性下的两种情况，显然后者包括前者。

按照你的比喻还很难说，情况不一样，换个比喻：
本来抛硬币不是正就是反，各占二分一，但是我现在告诉你，这个硬币质量不均匀，容易出现正面，那么，这正反结果就不一样了。
又比如：
跑步从a点到b点，你原来直着跑，你可以根据速度计算出时间，但是告诉你，你不一定能直着跑，那么时间还能按原来这样去算吗？

Answer 2

其实x作为自变量时，y=f(x)的二阶微分你仍可以写成
d²y= f"(x) dxdx+ f'(x) d(dx)
即
d²y= f"(x) dxdx+ f'(x) d²x
（有没有发现这和x作为因变量时二阶微分形式很像呢？直到此时它们确实是形式上一致的），但是x作为自变量时，注意到上式第二项f'(x)d²x的d²x=0，于是第二项等于0，上式变为
d²y= f"(x)dxdx.
也就是说，正是因为x作为自变量时其二阶微分d²x=0,使得二阶微分不具有形式不变性了

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

Answer 4

如果x不作为中间变量存在（也就是自变量的函数）是可以满足微分不变性的。因为ddx=0.
而作为中间变量的时候，ddx不一定为0.