Question

已知函数 f(x)= 2 x -1 2 x +1 ．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断f（

已知函数 f(x)= 2 x -1 2 x +1 ．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式 f(x)＞ 7 9 ．

Answer 1

（1）f（x）为奇函数．∵f（x）的定义域为R，对?x∈R， 有 f(-x)= 2 -x -1 2 -x +1 = 1- 2 x 1+ 2 x =- 2 x -1 2 x +1 =-f(x) ，∴f（x）为奇函数．…（4分） （2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．∵对-∞＜x 1 ＜x 2 ＜+∞， 2 x 1 - 2 x 2 ＜0 ， f(x)= 2 x -1 2 x +1 =1- 2 2 x +1 ， 故 f( x 1 )-f( x 2 )=(1- 2 2 x 1 +1 )-(1- 2 2 x 2 +1 )= 2 2 x 2 +1 - 2 2 x 1 +1 = 2( 2 x 1 - 2 x 2 ) ( 2 x 1 +1 )( 2 x 2 +1) ＜0 ， ∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．…（8分） （3）∵ f(3)= 7 9 ，又∵ f(x)＞ 7 9 ，即为f（x）＞f（3）．…（10分） 又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数， ∴不等式 f(x)＞ 7 9 的解集为{x|x＞3}．…（13分）