Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

Answer 1

（1）证明：连接AC， ∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°， ∴∠1=∠3， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=∠ADC=60° ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∴△ABC、△ACD为等边三角形 ∴∠4=60°，AC=AB， ∴在△ABE和△ACF中， ∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4 ， ∴△ABE≌△ACF．（ASA） ∴BE=CF． （2）由（1）得△ABE≌△ACF， 则S △ABE =S △ACF ． 故S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ， 是定值． 作AH⊥BC于H点， 则BH=2， S 四边形AECF =S △ABC = 1 2 BC?AH = 1 2 BC? A B 2 -B H 2 = 4 3 ； （3）由“垂线段最短”可知， 当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时， 正三角形AEF的面积会最小， 又S △CEF =S 四边形AECF -S △AEF ，则△CEF的面积就会最大． 由（2）得，S △CEF =S 四边形AECF -S △AEF = 4 3 - 1 2 ×2 3 × (2 3 ) 2 - ( 3 ) 2 = 3 ．