Question

{an}各项均为正的等比数列，已知a3+a4-a2-a1=8，求a5+a6+a7+a8最小值

{an}各项均为正的等比数列，已知a3+a4-a2-a1=8，求a5+a6+a7+a8最小值．

Answer 1

∵数列{a_n}是各项均为正的等比数列，
∴数列{a_n+a_n+1}也是各项均为正的等比数列，
设数列{a_n+a_n+1}的公比为x，a₁+a₂=a，
则x∈（1，+∞），a₃+a₄=ax，
∴有a₃+a₄-a₂-a₁=ax-a=8，即a=

8

x?1

∴y=a₅+a₆+a₇+a₈=ax²+ax³=

8(x3+x2)

x?1

，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=

16x(x2?x?1)

(x?1)2

，令y′＞0可得x＞

5 +1

2

，
故函数在（1，

5 +1

2

）单调递减，（

5 +1

2

，+∞）单调递增，
∴当x=

5 +1

2

时，y=a₅+a₆+a₇+a₈取最小值：44+20

5

．