Question

正四面体的外接球和内切球的半径之比是______

正四面体的外接球和内切球的半径之比是______．

Answer 1

解答：解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=

1

3

?S?r 而正四面体PABC体积V₂=

1

3

?S?（R+r）
根据前面的分析，4?V₁=V₂，
所以，4?

1

3

?S?r=

1

3

?S?（R+r），
所以，R=3r
故答案为：3：1．

Answer 2

答案为√3：1。
假设正四面体的内切球的半径为r，则正四面体的棱长为2r，一个面的对角线长为√[(2r)^2+(2r)^2]=2r√2；
那么外接球的半径为R=√[r^2+(r√2)^2]=r√3；
所以，R：r=√3：1。

Answer 3